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线性代数-矩阵的秩与等价标准型

发布时间:2019-07-23 14:34 来源:未知 编辑:admin

  本节主要内容本节主要内容:: 矩阵的子式 矩阵的子式 矩阵的秩 矩阵的秩 矩阵的等价标准型 矩阵的等价标准型 矩阵的秩与等价标准型{PAGE} 矩阵的子式矩阵的子式 在矩阵中任选 【定义1】一个 阶子式 例如, 矩阵 矩阵的秩矩阵的秩 中有一个r阶子式不等于零, 而任何 的秩(rank),记为r( 约定零矩阵(元素都是零的矩阵)的秩为零. 【评注】 若一个矩阵的阶子式都为 则它的所有 阶子式,没有4 阶子式, 从而A 阶子式,所有的4 式都为0,从而B 如何有效地求一个(大型)矩【问题】 2.1初等变换不改变矩 【证明】我们仅对矩阵的行初等变换进行证明, 设对换矩阵A的两行得到矩阵B. 由于对换一个行列式的两行仅改变行列式的符号, 因而B 的非零子式与A 的非零子式相互对应, 设矩阵A的某一行乘非零数k 得到矩阵B. 此时, B的子式与A的同位置的子式相等或差一个倍 列初等变换同理可证.{PAGE} 的某一行乘数k加到另一行上得到矩 由于(已经证明)交换矩阵的两行不改变矩阵的秩,故此时, 不妨假设初等变换为 1112 11 21 12 22 21 22 21 22 此刻我们也将证明 阶子式M,我们将证明 行元素:此时, M就是A的一个 阶子式,从而 行的元素:由于矩阵B kikj 此时,由行列式的性质4 和性质2 kikj ki kj 另一方面,经过初等变换 总之此时 仍然成立. {PAGE} 【推论】等价的矩阵有相同的秩. 【评注】 此定理说明, 为求一个矩阵的秩, 可通过 一系列初等变换将此矩阵化成一个秩是明显的矩阵, 型行初等变换{PAGE} 型行初等变换(iii) 型行初等变换由此容易看到 {PAGE}10 2.2 【命题 则通过行初等变换及列对换, 矩阵A可化为 {PAGE}11 行初等变换再交换B的列即可得到上述形式的矩阵. 此时, 例如(第一节的例11),【证明】 由命题1, 通过行初等变换, A可以变为行 行初等变换{PAGE} 12 【证明】 2.2 【定理 对命题2中的矩阵再用列初等变换即可.{PAGE} 13 表示主对角线 阶方阵.例如, 上下文清楚时,我们仅用0 表示零矩阵, 但注意零 矩阵 是不同的零矩阵.{PAGE} 14 2.2 【定理 的简化形式】 矩阵的等价标准型矩阵的等价标准型 用符号 表示数域上的全体m 矩阵)之间,我们定义 了等价. 矩阵的等价是集合 {PAGE}15 2.3 【定理 这就是定理1的推论. {PAGE}16 等价标准型: 为矩阵A的等价标准型.例如, 【评注】定理2.3说明, 两个矩阵等价等同于它们有相同的等 价标准型. {PAGE} 17 矩阵等价的一个通俗说明: 若将集合 视为一个学校, 一切m 在给此学校的学生分班:等价的矩阵分在同一个 每个班中的矩阵有相同的秩,我们就用这 这是此班中最“英俊” 的学生. {PAGE} 18 例如, 一切2 实数矩阵,按等价分3

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